大概是小组讨论的时候从树上凭空长出来了一个公式，非常的诡异。所以想着写一篇小文章整理一下推导思路。

在环丙烷中，由于三个C原子形成了一个正三角形的环，形成的巨大的张力，并且给外侧的H原子提供了更多的空间，使得C原子的四个键的键角发生了变异，其中H-C-H为118°。

为了计算C-C-C的键角（显然因为环张力的存在不可能是60°，而是被掰弯了（欸？）），提出了通过杂化指数计算键角大小的公式：

\(1+icosθ=0\)

其中\(i\)为杂化指数，即某一键中p轨道的成分对s轨道成分的倍数，\(θ\)为键角。

通过这个公式可以如此计算：

因为H-C-H键角为118°，代入公式\(1+icos(118°)=0\)可得H-C键的杂化指数\(i_H=2.13\)，即为\(sp^{2.13}\)杂化。由于中心C原子的总体杂化为\(sp^3\)，即四个键总共有1个s轨道和3个p轨道，因此有：

\(2\frac{1}{1+i_H}+2\frac{1}{1+i_C}=1\)

可得C-C键的杂化指数为\(i_C=4.54\)，即\(sp^{4.54}\)杂化。再代入键角公式有\(1+4.54cosθ=0\)解得C-C-C键角\(θ=102.72°\)。

这非常的不显然

在以上过程中，计算的思路是：

角1→杂化指数1→杂化指数2→角2

在此过程中出现了一个问题：杂化指数的定义是来自于键角还是轨道的分配？若由键角定义，为什么算出来的杂化方式满足总和为1个s轨道和3个p轨道？若由杂化的分配定义，为什么通过这个公式算出来的键角就是该分子的立体结构？

为了解决这个问题，我们尝试把这个公式推出来吧。

对于由s和p轨道杂化而成的任意轨道，满足函数\(Ψ=c_1Ψ_s+c_2Ψ_{p_x}+c_3Ψ_{p_y}+c_4Ψ_{p_z}\)

为了描述某一杂化轨道中p成分与s成分之比，可以取\(i_a=\frac{a_2^2+a_3^2+a_4^2}{a_1^2}\)来表示杂化指数。

欸？这个定义又是从哪棵树上长出来的呢！？

回顾一下之前的推导过程我们发现，杂化指数要满足

四个键总共有1个s轨道和3个p轨道

或者对于\(sp^i\)杂化的中心原子，其所有i+1根键要满足总共有1个s轨道和i个p轨道。

我们代回去看看是否成立🤔

s轨道总和：

\(\frac{1}{1+i_a}+\frac{1}{1+i_b}+\frac{1}{1+i_c}+\frac{1}{1+i_d}（如果该轨道没有杂化则i_n=0）
\\=\frac{1}{1+\frac{a_2^2+a_3^2+a_4^2}{a_1^2}}+\frac{1}{1+\frac{b_2^2+b_3^2+b_4^2}{b_1^2}}+\frac{1}{1+\frac{c_2^2+c_3^2+c_4^2}{c_1^2}}+\frac{1}{1+\frac{d_2^2+d_3^2+d_4^2}{d_1^2}}
\\=\frac{a_1^2}{a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2}+\frac{b_1^2}{b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2}+\frac{c_1^2}{c_1^2+c_2^2+c_3^2+c_4^2}+\frac{d_1^2}{d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2}
\\=a_1^2+b_1^2+c_1^2+d_1^2\)
发现是\(\int Ψ_s^2dτ\)
因此原式\(=1\)

p轨道总和：

\(\frac{i_a}{1+i_a}+\frac{i_b}{1+i_b}+\frac{i_c}{1+i_c}+\frac{i_d}{1+i_d}
\\=\frac{\frac{a_2^2+a_3^2+a_4^2}{a_1^2}}{1+\frac{a_2^2+a_3^2+a_4^2}{a_1^2}}+\frac{\frac{b_2^2+b_3^2+b_4^2}{b_1^2}}{1+\frac{b_2^2+b_3^2+b_4^2}{b_1^2}}+\frac{\frac{c_2^2+c_3^2+c_4^2}{c_1^2}}{1+\frac{c_2^2+c_3^2+c_4^2}{c_1^2}}+\frac{\frac{d_2^2+d_3^2+d_4^2}{d_1^2}}{1+\frac{d_2^2+d_3^2+d_4^2}{d_1^2}}
\\=\frac{a_2^2+a_3^2+a_4^2}{a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2}+\frac{b_2^2+b_3^2+b_4^2}{b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2}+\frac{c_2^2+c_3^2+c_4^2}{c_1^2+c_2^2+c_3^2+c_4^2}+\frac{d_2^2+d_3^2+d_4^2}{d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2}
\\=a_2^2+b_2^2+c_2^2+d_2^2+a_3^2+b_3^2+c_3^2+d_3^2+a_4^2+b_4^2+c_4^2+d_4^2\)
发现分别是参与杂化的\(\int Ψ_{p_x}^2dτ, \int Ψ_{p_y}^2dτ, \int Ψ_{p_z}^2dτ\) 部分！
因此原式\(=i\)

感觉非常的合理啊！

最后，我们来把二者相结合：

将正交条件代回求解键角的式子可以得到\(cosθ=\frac{-a_1b_1}{a_1\sqrt{i_a} \cdot b_1\sqrt{i_b}}\)，化简并变形后即可得到我们的公式

🎉🎉🎉\(1+\sqrt{i_ai_b}cosθ=0\)🎉🎉🎉

当两个键相同时可简化为\(1+icosθ=0\)

由此，我们把空间上的键角与轨道的杂化成分之间联系在了一起，从而解决了我们的问题。

p.s. 该理论还能继续扩展到含d、f轨道杂化的分子中，详情可参考
张冬菊, 刘艳红. 杂化轨道成键能力及夹角计算公式的简洁推导. 大学化学[J], 2023, 38(8): 312-317 doi:10.3866/PKU.DXHX202208064