啊我操数理基础怎么这么坏啊
我在考虑要不要拆分学科了

线性代数

快…快逃…

环：集合\(S\)是\(⊕\)交换群，\(⊗\)半群，且\(⊕\)与\(⊗\)满足分配律，则\(S\)为\(⊕\)与\(⊗\)上的环

域：集合\(S\)是\(⊕\)交换群，\(⊗\)交换群，且\(⊕\)与\(⊗\)满足分配律，则\(S\)为\(⊕\)与\(⊗\)上的域

域的特征：\(记作char(\mathbb{F})\)，表示域中若干个幺元相加得到零元时相加的幺元的个数，若无法加得零元，则规定特征为0，例如，\(char(\mathbb{R})=0, char(\mathbb{Z}_{5})=5\)

sturm序列的一种构造：对函数令\(f=f\)，\(f_1=f’\)，且在对\(f(x),f_1(x)\)的辗转相除中有\(f_{i-1}(x)=q_i(x)f_i(x)-f_{i+1}(x)\)，计算下来得到序列\(F\)即为sturm序列。

利用sturm序列计算函数的零点个数：在区间\([a,b]\)上\(f(x)\)的零点个数为\(V(a)-V(b)\)，其中\(V(i)\)为序列\(F(i)\)上去掉0后满足\(f_{λ-1}(i)·f_λ(i)<0\)的\(λ\)的个数

线性包络：记作\(span(\vec{x}_1, \vec{x}_2, …, \vec{x}_n)\)，表示由\(\vec{x}_1, \vec{x}_2, …, \vec{x}_n\)线性组合成的向量空间

子空间的直和：有域\(\mathbb{K}\)上的向量空间\(V\)，有子空间\(U_1,U_2,…,U_n\in V\)。令\(U=U_1+U_2+…+U_n\)。若对\(\forall \vec{x}\in U\)，\(\exists !\)一组\((\vec{x}_1\in U_1,\vec{x}_2\in U_2,…,\vec{x}_n\in U_n)\)有\(\vec{x}=\vec{x}_1+\vec{x}_2+…+\vec{x}_n\)，则称\(U\)为\(U_1,U_2,…,U_n\)的直和，记作\(U=U_1⊕U_2⊕…⊕U_n\)

函数向量空间：所有函数\(f(x):\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\)的集合\(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\)构成一个向量空间

向量集的秩：向量空间\(M\)的极大线性无关组为\(N\)，则\(|N|\)为向量空间\(M\)的秩

标准基：一个向量空间中一组向量\(\vec{e}_1=(1,0,…,0),\vec{e}_2=(0,1,…,0),…,\vec{e}_n=(0,0,…,1)\)为该向量空间的一组标准基

维数公式：向量空间\(A\)与\(B\)的维数满足\(dim(A+B)+dim(A\cap B)=\dim(A)+\dim(B)\)

坐标变换公式：在同一向量空间中使用两组基\(α_1(\vec{e}_1,\vec{e}_2,…,\vec{e}_n)\)以及\(α_2(\vec{e}_1’,\vec{e}_2’,…,\vec{e}_n’)\)则有一变换矩阵\(A\)满足\((\vec{e}_1’,\vec{e}_2’,…,\vec{e}_n’)\)=\((\vec{e}_1,\vec{e}_2,…,\vec{e}_n)·A\)，则向量\(\vec{x}\)用\(α_1\)的表示\((x_1,x_2,…,x_n)\)以及用\(α_2\)的表示\((x_1’,x_2’,…,x_n’)\)满足\((x_1’,x_2’,…,x_n’)^T=(A·x_1,x_2,…,x_n)^T\)

等价向量：向量空间\(V\)中有子空间\(W\)，若\(V\)中两向量\(\vec{v}_1\,\vec{v}_2\)满足\(\vec{v}_1-\vec{v}_2\in W\)，则称\(\vec{v}_1,\vec{v}_2\)在\(W\)意义上的等价向量，记作\(\vec{v}_1~\vec{v}_2\)。\(V\)中所有等价的向量形成一个集合，叫做等价类，记作\(\overline{v}\)

商空间：向量空间\(V\)中所有关于子空间\(W\)的等价类的集合，记作\(\frac{V}{W}\)

线性函数：\(V\)是域\(\mathbb{K}\)上的向量空间，若函数\(f:V\rightarrow\mathbb{K}\)满足\(f(a\vec{x}+b\vec{x})=af(\vec{x})+bf(\vec{x})\)，则\(f(\vec{x})\)是线性函数

零化子集

多重线性函数

合同矩阵

对称双线性型标准型的计算

二次型

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• 域的有限阶乘法子群是循环群。

数学分析

水的三相点温度：\( 273.16K \)

热力学第零定律：如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡，则它们彼此也必定处于热平衡。是定义温度的基础。

热力学第三定律：任何系统都不能通过有限的步骤使自身温度降低到绝对零度。

Van der Waals方程：\((p+\frac{n^2a}{V^2})(V-nb)=nTR\)，

Onnes方程：用级数表示的气体物态方程：

\(pV_m=A+Bp+Cp^2+Dp^3+…\)
\(pV_m=A+\frac{B’}{V_m}+\frac{C’}{V_{m}^2}+\frac{D’}{V_{m}^3}+…\)

与物态方程有关的三个系数：

体膨胀系数\(α=\frac{1}{V}(\frac{\partial V}{\partial T})_p\)

压强系数\(β=\frac{1}{p}(\frac{\partial p}{\partial T})_V\)

等温压缩系数\(κ_T=-\frac{1}{V}(\frac{\partial V}{\partial p})_T\)

关系：\(α=βκ_Tp\)

平衡态的细致平衡原理：系统达到热力学平衡状态时，系统内部的各个微观过程的发生与反应速率相等，并且在任意时刻这些过程都不依赖于时间。这种平衡状态被称为细致平衡状态。

分动的半经验公式：\(F(r)=\frac{α}{r^s}-\frac{β}{r^t}\)

van de Waal’s气体状态方程：\((p+\frac{n^2a}{V^2})(V-nb)=nTR\)，其中\(a=4N_A^2V_0ε=bεN_A\)，反应分子间的吸引力，\(b=4N_AV_0\)，反应每摩尔气体分子所占体积

Maxwell分布律：气体分子速率分布，可推导得\(f(v_x,v_y,v_x)=\frac{1}{(\sqrt{2π}σ)^3}e^{-\frac{v_x^2+v_y^2+v_z^2}{2σ^2}}\)，因此\(f_M(v)=4πv^2(\frac{m_0}{2πk_BT})^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{m_0v}{2k_BT}}\)

电磁学

库仑定律：\(\vec{F}=\frac{Q_1Q_2}{4πε_0r^2}\hat{r}\)，其中 \(ε_0\)为真空介电常量。

电场：电场强度定义：\(\vec{E}=\frac{\vec{f}}{q}\)，再由库仑定律得\(\vec{E}=\frac{Q}{4πε_0r^2}\hat{r}\)

电偶极子：两个等量异号点电荷组成的系统。用电偶极矩\(\vec{P}_e=q\vec{l}\)描述，方向为由负到正。

一些电场强度

电偶极子：中垂线上电场强度大小\(E=2\frac{q}{4πε_0}\frac{1}{r^2+\frac{l^2}{4}}\frac{\frac{l}{2}}{\sqrt{r^2+\frac{l^2}{4}}}=\frac{ql}{4πε_0(r^2+\frac{l^2}{4})^{\frac{3}{2}}}=\frac{P_e}{4πε_0(r^2+\frac{l^2}{4})^{\frac{3}{2}}}\)，当\(r>>l\)时，\(\vec{E}=-\frac{\vec{P_e}}{4πε_0r^3}\)

带电棒：中垂线上电场强度大小\(\vec{E}\)满足\(dE_x=\frac{η_e}{4πε_0}\frac{x}{cos^2θ}\frac{cos^2θ}{x^2}dθ=\frac{η_ecosθ}{4πε_0x}dθ\)。其中当棒无限长时，有\(E_x=\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\frac{η_ecosθ}{4πε_0x}dθ=\frac{η_e}{2πε_0x}\)，电场和距离成反比

圆环：轴线上x处一点电场满足\(dE=\frac{dq}{4πε_0(r^2+x^2)}\)，积分得到\(E=\frac{xq}{4πε_0(r^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}\)

圆盘：轴线上x处一点的电场可由圆环积分得来（每层圆环带电\(dq=2πrσ·dr\)）：\(dE=\frac{x·dq}{4πε_0(r^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}\)，积分得\(E=\frac{σ}{2ε_0}(1-\frac{x}{\sqrt{r^2+x^2}})\)，当圆盘无限大时，有\(E=\frac{σ}{2ε_0}\)为匀强电场！

电通量：通过某个面积的电场线的条数。\(Φ_E=\iint_r\vec{E}·d\vec{r}\)
高斯定理

环路定理：静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于0，即\(\oint_r\vec{E}·d\vec{r}=0\)

化学

压强的单位换算：\(1 atm = 760 mmHg = 760 torr = 1.01325×10^5 Pa\)

Maxwell-Boltzmann分布率：\(f_E=\frac{n_i}{n_总}=e^{-E/RT}\)，描述一定温度下气体分子动能的分布。

Graham扩散定律：\(v_A:v_B=\sqrt{ρ_B}:\sqrt{ρ_A}=\sqrt{M_B}:\sqrt{M_A}\)

气体分子运动理论：\(pV=\frac{1}{3}N_Am\overline{v^2}=\frac{2}{3}N_A\overline{E}_K=RT\)（\(n=1 mol\)）

分子热运动：\(\overline{E_k}=\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}k_BT\)，即\(\overline{v^2}=\frac{3RT}{M}\)

Van der Waals方程：\((p+\frac{n^2a}{V^2})(V-nb)=nTR\)，其中\(a\),\(b\)为与气体成分有关的常数。对理想气体状态方程的修正。\(a\)与\(b\)的含义详见热学部分

液体的结构：长程无序，难以压缩，流动性大

临界温度：气体能否液化成气体的指标之一。气体高于临界高度时，无论如何加压，气体都无法液化成液体。临界温度时气体液化的最低压强称为临界压强。\(1 mol\)气体处于临界温度及临界压强时的体积称为临界体积。

永久气体：沸点和临界温度都低于室温的气体

可凝聚气体：沸点低于室温而临界温度高于室温的气体。

超临界流体：气体在高于临界温度及临界压强时介于气体与液体之间的一种状态时成为的流体。既能像气体一样自由扩散满容器，也可以像液体溶解溶质。

饱和蒸气压：\(P=Ae^{-\frac{ΔH_{vap}}{RT}}\)

Clapeyron-Clausius方程：\(ln\frac{P_2}{P_1}=-\frac{ΔH_{vap}}{R}(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1})\)

相律：\(F=C-P+2\)，用以考察体系能发生独立变化的变量数，即自由度。其中\(F\)是自由度，\(C\)是体系的组分数，\(P\)是相数。一般讨论单组分体系。

水的相图

二氧化碳的相图

温度越低，气体沸点越高，在液体中的溶解度越高

Henry定律：\(s\propto p\)，气体溶解度和压强成正比

非电解质稀溶液的依数性：与摩尔浓度有关的一些性质：

1、蒸汽压降低

Raoult定律：\(Δp=p_0x\)，其中\(x\)为溶质的摩尔分数，适用于非挥发性非电解质稀溶液

2、沸点升高

根据Raoult定律有\(ΔT_b=K_bm\)

3、凝固点降低

根据Raoult定律有\(ΔT_f=K_fm\)

4、渗透压

van’t Hoff惊喜地发现，渗透压\(Π\)满足\(ΠV=nTR\)，也可以写作\(Π=cTR\)

电解质溶液的依数性与理论相差较大

Arrhenius电离学说：电解质在溶液中自动部分解离成离子，其电离的百分率记作电离度\(α\)，\(α=γc\)

一些常数

摩尔气体常数 \(R=8.314 Pa·m^3·mol^{-1}·K^{-1}\)

Boltzmann常数 \(k=\frac{R}{N_A}=1.38×10^{-23} J·K^{-1}\)

真空介电常量 \(ε_0=8.85×10^{-12} C^2·N^{-1}·m^{-2}\)

元电荷 \(e=1.602×10^{-19} C\)